Нові точно та квазі-точно розв'язувані квантові системи

Abstract

Дисертацію присвячено дослідженню та побудові квантових задач з кількома чи всіма відомими розв’язками. Так інверсний метод було застосовано до побудови квазі-точно розв’язуваних систем, які описуються багатовимірним стаціонарним рівнянням Шрьодінгера з двома відомими рівнями чи одновимірним нестаціонарним з одним відомим розв’язком. Значну увагу було приділено новим напрямам квантової механіки, зокрема квантовій механіці з неермітовими гамільтоніанами та квантовій механіці з деформованими алгебрами Гайзенберга, які приводять до виникнення мінімальної довжини. Нами знайдено загальний вираз суперпотенціалу РТ -симетричного гамільтоніану, що дало змогу його факторизувати і, як наслідок, отримати широкий клас квазі-точно розв’язуваних РТ -симетричних гамільтоніанів з одним відомим рівнем. Побудовано новий клас квазі-точно розв’язуваних неермітових гамільтоніанів з дійсним спектром. Нами було точно розв’язано одновимірну кулонівську задачу в деформованому просторі з мінімальною довжиною. На її прикладі показано, що наявність мінімальної довжини необов’язково усуває сингулярність. Розвинуто квазі-класичне наближення та проаналізовано його застосовність для випадку деформованого простору з мінімальною довжиною; знайдено узагальнення формули квантування Бора- Зомерфельда. Всі отримані результати проілюстровані кількома прикладами.

Диссертация посвящена исследованию и построению квантовых задач с несколькими или всеми известными решениями. Так, инверсный метод был применен к построению квази-точно решаемых систем, описываемых многомерным стационарным уравнением Шредингера с двумя известными уровнями и одномерным нестационарным с одним известным решением. Значительное внимание приделалось новым направлениям квантовой механики, в частности квантовой механике с неэрмитовыми гамильтонианами и квантовой механике с деформированными алгебрами Гейзенберга, приводящих к появлению минимальной длины. Найдено общее выражение суперпотенциала РТ -симметрического гамильтониана, что сделало возможным его факторизацию и вследствие этого получить широкий класс квази-точно решаемых РТ -симметрических гамильтонианов с одним известным уровнем. Построено новый класс квази-точно решаемых неэрмитовых гамильтонианов с действительным спектром. Точно решена одномерная задача Кулона в деформированом пространстве с минимальной длиной. На ее примере показано, что наличие минимальной длины необъязательно убирает сингулярность. Развито квази-классическое приближение и проанализирована его применимость для случая деформированного пространства с минимальной длиной; найдено обобщение формулы квантования Бора-Зоммерфельда. Все полученые результаты проиллюстрированы нескольками примерами.

The dissertation is devoted to the research and construction of quantum problems with several or all known solutions. Thus, the inverse method was applied to the construction of quasi-exactly solvable systems, which are described by a multidimensional stationary Schrödinger equation with two known levels or a one-dimensional nonstationary one with one known solution.Several relevant examples to illustate the applicance of the method is given and analyzed. One of them is very interesting and reproduces quantum Kapitsa effect. But the special attention is paid to new branches of quantum mechanics. They are quantum systems with non Hermitian Hamiltonians and quantum mechanics with deformed canonical commutation relation leading to minimal length existance. In the first case using supersymmetric approach a general form of superpotential of PT -symmetric one dimensional Hamiltonian is found. It gives a possibility to factorize the Hamiltonian and as a result to find one its level. So a wide class of quasi exactly solvable PT -symmetric Hamiltonians is constructed. Several examples of such Hamiltonians are given. We also construct with the help of pseudo-Hermitian approach proposed buy Mostafazadeh a new class of non Hermitian Hamiltonians with real spectra. Constructed Hamiltonians are characterized by real parameter a If it is negative then the spectrum of corresponding Hamiltonian does not contain complex eigenvalues but may be real. If a = 0 then the spectrum is completely real and one eigenfunction is known. Otherwise the spectrum contains one complex eigenvalue. Thus obtained Hamiltonians are quasi exactly solvable with one known level. Several examples of all three cases are given.